鲁教版必修一动能守恒

概要：恒，m与A、B组成的系统动量也不守恒。答案C、D正确。二、动量守恒定律的近似性如果系统所受的合外力不等于零，严格地讲系统的动量不守恒。但是，如果相互作用的时间极短，且外力远小于内力，系统内每一物体的动量改变主要来自内力的冲量，这时可认为系统的动量近似守恒。如在爆炸、打击、碰撞等过程中，系统内物体的重力、外界对系统中物体的摩擦力等均可忽略，都可认为系统的动量近似守恒。例2、（1997年全国高考题）质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为X0，如图所示。一物块从钢板正上方距离为3 X0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点。若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。解析：物块从A点自由下落与钢板碰前的速度为V0＝＝物块与钢板相碰并立即一起向下运动，说明碰撞时间极短，碰撞过程中可以不计重力，竖直方向动量近似守恒。设碰后物块与钢板一起向下运动的速度为V1，则mV0＝（m＋m） V1在物块与钢板一起下降和上升过程中，系统的机械能

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　　一、动量守恒定律的条件性

　　系统动量守恒是有条件的，即系统不受外力或合外力等于零。不注意条件性，就会导致乱用动量守恒定律。

　　例1、在轻的定滑轮上用线悬挂两个质量均为M的物体，A物体距地面有一高度，B物体着地，如图所示。质量为m的圆环套在线上，从A的上方自由落下与A粘合在一起，对m与A粘合瞬间下列说法中正确的是：（　 　）

　　A、m与A组成的系统动量守恒

　　B、m与A、B组成的系统动量守恒

　　C、m与A组成的系统动量不守恒

　　D、m与A、B组成的系统动量不守恒

　　解析：本题有许多人认为m与A粘合瞬间属于撞击，m与A的相互作用力远大于重力，所以误认为m与A组成的系统动量守恒或m与A、B组成的系统动量守恒。误选A或B项。

　　m与A撞击，由于A、B两物体用线相连，实际上是m与A、B的撞击。设线中的平均作用力为F，物体的重力可忽略不计，但在滑轮的轴处有方向向上的力2F，所以m与A组成的系统动量不守恒，m与A、B组成的系统动量也不守恒。答案C、D正确。

　　二、动量守恒定律的近似性

　　如果系统所受的合外力不等于零，严格地讲系统的动量不守恒。但是，如果相互作用的时间极短，且外力远小于内力，系统内每一物体的动量改变主要来自内力的冲量，这时可认为系统的动量近似守恒。如在爆炸、打击、碰撞等过程中，系统内物体的重力、外界对系统中物体的摩擦力等均可忽略，都可认为系统的动量近似守恒。

　　例2、（1997年全国高考题）质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在

　　地上。平衡时，弹簧的压缩量为X0，如图所示。一物块从钢板正上方距离为3 X0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点。若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。

　　解析：物块从A点自由下落与钢板碰前的速度为

　　V0＝＝

　　物块与钢板相碰并立即一起向下运动，说明碰撞时间极短，碰撞过程中可以不计重力，竖直方向动量近似守恒。设碰后物块与钢板一起向下运动的速度为V1，则

　　mV0＝（m＋m） V1

　　在物块与钢板一起下降和上升过程中，系统的机械能守恒。以钢板静止时的位置为重力势能的零位置，用EP表示弹簧被压缩X0时的弹性势能。则对物块和钢板在开始下降和回到O点的两位置有

　　EP＋（2m） V12/2＝2mg X0

　　当物块质量为2m时，相碰时同理有

　　2mV0＝（2m＋m） V2

　　设它们回到O点时具有的向上速度为V，同理由机械能守恒得

　　EP＋（3m） V22/2＝3mg X0 ＋（3m） V2/2

　　物块和钢板越过O点后两者开始分离，物块向上作初速为V的竖直上抛运动，它到达的最高点与O点的距离为

　　h＝V2/2g

　　联立解得：h＝X0/2

　　三、动量守恒定律的独立性

　　如果系统所受的合外力不等于零，外力也不远小于内力（或作用时间不是极短），这时系统动量不守恒，也不能认为近似守恒。但是只要在某一方向上不受外力或合外力的分量等于零，或者某一方向上的外力远小于内力，那么在这一方向上系统动量近似守恒，这就是动量守恒定律的近似性。系统的动量是否守恒与参照系的选择无关，这是动量守恒定律独立性的又一表现。

　　例3、放在光滑水平面上的质量为M的滑块，其上表面是光滑曲面。质量为m的物体以水平速度V0进入滑块的上表面，如图所示。物体并未从滑块上端飞出，求：

　　（1）物体上升的最大高度。

　　（2）物体滑下与滑块脱离时的速度。

　　解析：物体冲上曲面后，在竖直方向上先加速后减速，滑块对物体弹力的竖直分量先大于重力，到等于重力，再到小于重力，在物体上升的过程中系统竖直方向的动量不守恒。由类似分析知，物体返回过程中系统竖直方向的动量也不守恒。在相互间弹力的水平分量的作用下，当它们具有相同的水平速度时，物体上升到最高位置。系统在水平方向不受外力，根据动量守恒的独立性可知，整个过程中系统的水平方向动量守恒。系统的机械能守恒。

　　（1）设物体上升的最大高度为H，两者的共同速度为V，则有

　　mV0 =（M+m）V

　　mV02/2＝（M+m）V2/2 ＋ mgH

　　联立解得：H＝MV02/2（M+m）g

　　（2）设物体脱离滑块时，两者的速度分别为V1、V2，则有

　　mV0＝mV1＋MV2

　　mV02/2＝mV12/2＋ＭV22/2

　　联立解得：V1＝（m－Ｍ）V0／（ｍ＋Ｍ）

　　四、动量守恒定律的矢量性

　　由于速度和动量都是矢量，因此，系统的动量是指系统内所有物体动量的矢量和。系统的动量守恒，是指系统内各物体动量矢量和的大小和方向保持不变。动量守恒定律的表达式是一个矢量式，动量守恒定律具有矢量性。当动量方向都在一条直线上时，规定正方向后可用正、负号来表示动量的矢量性，动量守恒方程的矢量式就简化为代数式。对各矢量前的正、负号的选取，通常有两种方法：一是字母本身带正、负号，该字母既表示大小又表示方向，动量守恒定律文字方程中的运算符号一律取“＋”号；二是字母本身不带正、负号，该字母只表示大小不表示方向，动量的矢量性则通过方程中运算符号的“＋”或“-”来表示。解题时应做到“明确矢量性，坐标方向明”。

　　例4、有两块大小不同的圆形薄板（厚度不计），质量分别为M和m，半径分别为R和r，两板之间用一根长度L=0.4m的绳相连接。开始时两板水平放置并叠合在一起，静止于固定支架C上方h=0.2m处，如图（a）所示。然后自由下落到支架上，支架上有一半径为R′【r＜R′＜R】的圆孔，两薄板中心均在圆孔中心轴线上。大板与支架发生没有机械能损失的碰撞，碰撞后两板分离，直到绳绷紧，如图（b）所示。在绳绷紧的瞬间，求两板的共同速度V。

　　解析：开始时两板自由下落，与固定支架碰撞前的速度为

　　V0＝＝2m/s，方向竖直向下。

　　发生没有机械能损失的碰撞后，M以V0作竖直上抛运动。两者的相对速度为2 V0，从M与支架碰撞到绳绷紧经历的时间为

　　t＝L/2V0＝0.1s。

　　绳绷紧前m的速度V1＝V0＋gt＝3m/s，方向竖直向下。M的速度V2＝V0－gt＝１m/s，方向竖直向上。

　　在绳绷紧的瞬间，绳的拉力远大于Ｍ和m的重力，两板和绳组成的系统动量近似定恒。规定竖直向下的方向为正方向，因V1、 V2只表示速度的大小，动量的矢量性则通过运算符号的“＋”或“－”来体现，假设共同速度Ｖ的方向与正方向相同，由动量守恒定律得

　　mV1－M V2＝