《函数的奇偶性》教学案例分析

概要：重点是 : 关于奇函数 , 偶函数概念的理解 , 掌握奇函数偶函数的图像的特点 . 本节课学习目标定为①会用定义法判断简单函数的奇偶性 . ②会用定义探究 f1（x）.f2（x）（f1,f2 可能同为奇函数或同为偶函数或一个为奇函数 , 一个为偶函数 ） 的奇偶性 . 片段一 : 师：在定义中 , 都有如果对 D 内的任意一个 x, 必有一个 -x 也在 D 内，这说明了什么？ 生：这说明一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称。 师：回答得很好！同学们再思考一下，如果一个函数的定义域不关于坐标原点对称，那么这个函数还会是奇函数或偶函数吗？ 生：一定不会，这是函数既不是奇函数也不是偶函数，因为失去了是奇函数或偶函数成立的前提条件。 师：下面同学们根据奇函数，偶函数的定义判断下列函数的奇偶性： （ 1 ） f （ x ） =x+1 （ 2 ） f （ x ） =x 2 +1 （ 3 ） f （ x ） =x（x 2 +1） 生：（ 1 ）既不是奇函数也不是偶函数 ； （ 2 ）是偶函数 ；（3） 是奇函数 . 师：完全正确！同学们思考 f（x）=kx+b（k ≠ 0） 有可能是奇函数或偶函数吗？

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[ 案例题旨 ] 

函数的奇偶性是函数的一个重要性质 , 它有助于培养学生的理解能力，推理论证能力和探索精神，在高中数学中占有重要位置。本案例研究的主要问题有： 

1 、函数奇偶性的定义是什么？如何理解？ 

2 、如何利用奇、偶函数的定义判断某些简单函数的奇偶性。 

3 、若 f1（x） 为 R 上的奇函数， f2（x） 为 R 上的奇函数， g（x） 为 R 上的偶函数， h（x） 为 R 上的偶函数，探究 f1（x）.h（x）,g（x）.f2（x）,f1（x）.f2（x）,g（x）.h（x） 的奇偶性。 

4 、奇函数，偶函数的图像有何特点？ 

[ 案例背景 ] 

研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要 , 如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数 , 则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分 , 就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像 . 本节的学习重点是 : 关于奇函数 , 偶函数概念的理解 , 掌握奇函数偶函数的图像的特点 . 本节课学习目标定为①会用定义法判断简单函数的奇偶性 . ②会用定义探究 f1（x）.f2（x）（f1,f2 可能同为奇函数或同为偶函数或一个为奇函数 , 一个为偶函数 ） 的奇偶性 . 

片段一 : 

师：在定义中 , 都有如果对 D 内的任意一个 x, 必有一个 -x 也在 D 内，这说明了什么？ 

生：这说明一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称。 

师：回答得很好！同学们再思考一下，如果一个函数的定义域不关于坐标原点对称，那么这个函数还会是奇函数或偶函数吗？ 

生：一定不会，这是函数既不是奇函数也不是偶函数，因为失去了是奇函数或偶函数成立的前提条件。 

师：下面同学们根据奇函数，偶函数的定义判断下列函数的奇偶性： 

（ 1 ） f （ x ） =x+1 （ 2 ） f （ x ） =x 2 +1 （ 3 ） f （ x ） =x（x 2 +1） 

生：（ 1 ）既不是奇函数也不是偶函数 ； 

（ 2 ）是偶函数 ；（3） 是奇函数 . 

师：完全正确！同学们思考 f（x）=kx+b（k ≠ 0） 有可能是奇函数或偶函数吗？请展开讨论。 

生 1 ：有可能是奇函数，如当 b=0 时， f（x）=kx（k ≠ 0） 满足 f（-x）=-f（x） 。 

生 2 ：他说的正确，但我认为 f（x）=kx+b（k ≠ 0） 一定不是偶函数，因为 f（-x） ≠ f（x）. 

师：你们总结的很好，当 b=0 时， f（x）=kx（k ≠ 0） 满足 f（-x）=-f（x） ；当 b ≠ 0 时， f（-x） ≠ f（x） ， f（-x） ≠ -f（x）,f（x）=kx+b（k ≠ 0） 既不是奇函数，也不是偶函数。 

那同学们再思考 f（x）=ax 2 +bx+c（a ≠ 0） 是否具有奇偶性呢？ 

生：可能具有也可能不具有，特别的当 b=0 时， f（x） 是偶函数； b ≠ 0 时既不是奇函数，也不偶函数。 

师：好。对于我们熟悉的一次函数 f（x）=kx+b 当 b=0 时为奇函数，否则既不是奇函数，也不偶函数；二次函数 f（x）=ax 2 +bx+c 当 b=0 时为偶函数，否则既不是奇函数，也不偶函数，希望同学们理解并记住。 

师：下面同学们再思考 f（x）=x（x 2 +1） 可看成一个奇函数 y1= ______ 和偶函数 y2= _____ 的乘积？它是奇函数吗？这说明什么？ 

生： y1=x,y2=x 2 +1 这说明一个奇函数 g（x） 和一个偶函数 h（x） 的乘积是奇函数 （f（x）=g（x）.h（x）） 

师：好，那么如果 g（x） 和 h（x） 同为偶函数或奇函数呢？ 

生： f（x） 为偶函数。因为 f（-x）=g（-x）.h（-x）=g（x）.h（x）（ 或 f（-x）=-g（x）.[-h（x）]=g（x）.h（x）） 

师：很好。 

片段 2 ： 

师：奇函数或偶函数的图象有何特点？请同学们作出 y=-2x 和 y=x 2 +1 的图象，并观察有何特点？ 

生：奇函数 y=-2x 的图象是一条过原点的直线，并且关于原点成中心对称图形；偶函数 y=x2+1 的图象是一条抛物线，顶点是（ 0 ， 0 ）、开口方向向上，且关于 y 轴对称。 

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师：回答得太棒了！大家再作出 y=4x 和 y=x 2 的图象，观察是否有类似的规律？ 

生： y=4x 的图象也是关于原点成中心对称图形； y=x 2 与 y=x 2 +1 的图象一样也关于 y 轴对称。 

师：同此我们猜想，奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，反之亦然；偶函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数。师：请同学们思考自学课本 P51 倒数第二段。 

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